728x90 반응형 dimension4 [CS246] Dimensionality Reduction (4) - CUR Decomposition Motivation실제 세계에서 데이터행렬(data matrix)은 매우 희소하다. (very sparse)그러나 SVD로 분해하여 얻은 2개의 singular vector $U$, $V$는 sparse 하지 않다.물론 $\Sigma$는 sparse하지만 $U$와 $V$에 비해 너무 크기가 작기 때문에 메모리 측면에서 별로 도움이 되지 않는다. 이런 이유로 행렬을 sparsity를 유지하면서 (의미있게) 분해할 필요가 있다.CUR DecompositionCUR 분해의 목표는 $\| M - CUR \|_F$ 의 값을 최소화 하는 것이다.$C$는 column에서 랜덤하게 $r$개 뽑은 컬럼벡터, $R$은 row에서 랜덤하게 $r$개 뽑은 로우벡터가 된다.$U$는 $C$와 $R$의 교집합으로 이루어진 정방행렬.. 2023. 10. 11. [CS246] Dimensionality Reduction (3) - SVD Singular Value Decomposition (SVD)특이값분해(SVD)와 관련 용어를 잠시 복습하고 가자.행렬 $M$을 SVD 분해하면 아래와 같이 3개의 행렬을 얻게 된다. $M_{m \times n}$: input data matrix$U_{m \times r}$: left singular vector$\Sigma_{r \times r}$: singular values. 대각행렬이고 각 성분($\sigma_i$)은 'concept'의 강도(strength)를 나타낸다. $V_{n \times r}$: right singular vector$r$은 $r=\text{rank}(M)$ 이고, $U$와 $V$는 column-orthonormal이다.\[ M \approx U \Sigma V^\top.. 2023. 10. 10. [CS246] Dimensionality Reduction (2) - PCA Principal Component Analysis (PCA)PCA 알고리즘으로 생성된 새로운 차원(dimension)을 주성분(principal component)라 부른다.원래 PCA 자체로는 차원축소가 아니지만, 이 포스트에서는 차원축소로 응용되는 특성에 대해 다룬다.PCA: Algorithm데이터의 분산이 가장 큰 방향을 새로운 차원의 축으로 삼는 것이 핵심이다. (해당 축으로 데이터를 정사영했을 때 가장 range가 큰 것) 데이터의 분산이 곧 데이터의 분포를 가장 잘 설명할 것이기 때문이다. 첫번째 차원: 데이터의 분산이 가장 큰 방향두번째 차원: 첫번째 차원과 수직이면서, 데이터의 분산이 2번째로 큰 방향n번째 차원: 첫번째, 두번째, ..., (n-1)번째 차원과 모두 수직이면서, 데이.. 2023. 10. 8. [CS246] Dimensionality Reduction (1) - Introduction Demensionality ReductionReducing Matrix Reduction대부분의 데이터는 행렬로 표현할 수 있다. 예를 들어, $m \times n$ 행렬은 $m$개의 점들과 $n$개의 feature로 생각할 수 있다. 선형대수를 이용하면, 행렬을 3개의 행렬의 곱으로 나타낼 수 있다. 이때 새로 생기는 3개의 행렬은 더 작은 차원 $r$을 공유한다. 예를 들어, SVD를 이용하면 $m \times n$ 행렬은 각각 $m\ times r,\ r \times r,\ r times n$ 이렇게 3개의 행렬을 얻게 되고 가운데 행렬은 대각행렬이기 때문에 $r \times r$은 사실상 $r \times 1$ 이다.Latent Factors원래 데이터의 차원을 $D$, 그리고 축소된(혹은 잠재공.. 2023. 10. 7. 이전 1 다음 728x90 반응형
