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[비모수 통계] 비모수 통계학은 무엇인가? 비모수 통계학 (Nonparametric Statistics)모수적 통계학 (Parametric Statistics)의 가정과 한계처음 통계를 배울 때 가장 많이 접하는 내용은 사실 모수적 통계학이다. 여기서의 통계적 분석은 보통 다음의 내용을 가정(전제)하여 전개된다.모집단이 어떤 분포를 따른다. (보통 정규분포)그 분포는 모수(parameter)로 요약된다. 예를 들어, 베르누이 분포는 하나의 모수 (성공확률:

p

), 정규분포는 두개(평균과 분산:

μ, σ^{2}

)로 요약된다.우리가 가진 표본(sample)은 이 모집단에서 무작위로 추출된 것이다.이런 가정이 가능한 이유는 중심극한정리때문이다. 표본 크기가 충분히 크다면(이론상

n \geq 30

, 모집단 분포에 .. 2025. 4. 6.

[Markov Chains] 장기 확률 (limiting probabilities, period, ergodic, stationary probability) Markov Chain and its Stationary Distributiontwo-staet Markov chain의 전이확률이 다음과 같다고 하자.

P = [\begin{matrix} 0.7 & 0.3 \\ 0.4 & 0.6 \end{matrix}]

P^{4}

P^{8}

을 계산해보면 다음과 같다.

P^{4} = [\begin{matrix} 0.5749 & 0.4251 \\ 0.5668 & 0.4332 \end{matrix}], P^{8} = [\begin{matrix} 0.572 & 0.428 \\ 0.570 & 0.430 \end{matrix}]

P^{8}

P^{4}

와 거의 동일하다는(identical) 것을 의미한다.또한,

P^{8}

의 .. 2025. 1. 8.

[Markov Chains] 여러가지 상태 분류 (accessible, communicate, irreducible, recurrent, transient) Classification of StatesAccessible, Communicate, Irreducible어떤 음이 아닌 수

n \geq

P_{i j}^{n} > 0

j

i

로부터 accessible(도달 가능)하다고 한다.만약

j

i

로부터 not accessible하다면, \begin{align} P(\text{ever enter }j \mid \text{start in }i) &= P\bigg( \bigcup_{n=0}^{\infty}\{X_n = j \} \mid X_0 = i \bigg) \ &\le \sum_{n=0}^{\infty}P(X_n = j \mid X_0 = i) = \sum_{n=0}^{\infty}P_{.. 2025. 1. 6.

[Markov Chains] Chapman-Kolmogorov Equations (체프만-콜모고로프 방정식) Chapman-Kolmogorov Equation: Transition Rules for Stochastic Processes앞서 one-step transition probability

P_{i j}

을 정의했다.이제 일반화하여

n

-step transition probability(n단계 전이확률)를

P_{i j}^{n}

로 표기하고 정의할 것이다.state

i

n

번의 추가 전이를 거쳐 state

j

에 있을 확률을

P_{i j}^{n}

로 정의한다. 즉,

P_{i j}^{n} = P (X_{n + k} = j ∣ X_{k} = i), n \geq 0, i, j \geq 0

n = 1

인 경우에는 \( P_{ij}^1 = P.. 2025. 1. 4.

[Markov Chains] Basic Concepts (마르코프 체인 개념) Markov ChainsIntroduction어떤 process가 각 시간마다 값을 가진다고 하자.

X_{n}

n

에서의 값이라고 할 때, 연속적인 값

X_{0}, X_{1}, X_{2}, \dots

에 대한 확률 모델을 만들어보자.아주 간단한 모델로,

X_{n}

이 독립적인 확률변수라고 가정할 수 있지만, 이런 가정은 확실히 부적절하다. 예를 들어,

X_{n}

이 어떤 증권(구글 주식 등)의

n

추가 거래일 종료시점의 가격이라 하자.그런데

X_{n + 1}

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{n}

과 독립이라고 가정하는것은 타당하지 않을 것이다.만약 주식의 종가가 이전 종가에만 의존한다고 가정하는 것은 합리적일 수 있다.즉, \( X_{n+1} .. 2024. 12. 23.

[Stochastic Process] 확률과정이란? Stochastic Process확률과정은

{X (t), t \in T}

는 시간에 따라 변화하는 확률변수들의 집합이다.여기서는

X

X (t)

가 확률변수가 된다.

t

는 지표(index)라고 하고 일반적으로 시각이나 시간(time)으로 해석된다.

X (t)

t

에서의 확률과정의 상태(state)라고 한다.예를 들면,

X (t)

는 다음과 같은 state를 나타낼 수 있다.

t

시점에 슈퍼마켓에 들어온 총 고객 수

t

시점까지 슈퍼마켓에서 기록된 총 매출액

T

는 집합으로, 지표집합(index set)이라고 한다.

T

가 가산집합(countable set)이면, 확률과정은 이산시간과정(discret.. 2024. 12. 22.

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