728x90 반응형 sample variance2 표본분산은 왜 n-1로 나눌까? (불편추정량, 자유도) 표본분산은 왜 n이 아니라 n-1로 나눌까?Notation$\mu$: 모평균 (모집단의 평균, 우리는 알 수 없다.)$\sigma^2$: 모분산 (모집단의 분산, 우리는 알 수 없다.)$X_1, X_2, \dots, X_n$: 평균이 $\mu$이고 분산이 $\sigma^2$인 모집단(정규분포일 필요는 없다.)에서 i.i.d(독립항등분포) 샘플링한 확률변수.$\overline{X}$: 표본평균 (sample mean)$E(X)$: 기댓값. $E[X] = \mu$$Var(\cdot)$: 분산, $Var(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - E[X]^2$ 표본평균의 통계량표본평균의 평균, $E[\overline{X}]$$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{.. 2024. 5. 21. 정규분포와 관련된 이론: 카이제곱분포, 표본분산, t-분포, F-분포 (Normal Distribution Theory: Chi-squared distribution, sample variance, t-distribution, F-distribution) Normal Distribution Theory정규분포를 따르는 2개의 확률변수의 합은 정규분포임을 알 수 있었다.이제 이를 확장해서 $n$개의 확률변수의 합도 정규분포를 따르는지 알아보자.$n$개의 확률변수 $X_i \sim N(\mu_i, \sigma_i^2)$의 합을 $Y=(\sum_i a_iX_i)+b$라 하면\[ Y \sim \left( (\sum_i a_i \mu_i)+b,\ \sum_i a_i^2\sigma_i^2) \right) \]Proofmgf를 이용하여 증명한다.확률변수의 합의 mgf는 각 확률변수의 mgf의 곱과 같으므로$M_Y(t) = \Pi_i M_{X_i}(t) = e^{bt} \cdot \text{exp}[\sum_i(a_i\mu_i)t + \Pi_i(a_i\sigma_i)^.. 2023. 4. 26. 이전 1 다음 728x90 반응형
