728x90 반응형 expectation3 Measure Theoretic Probability $\sigma$-algebraA non-empty collection $\mathcal{E}$ of subsets of $E$ is called an algebra if it is closed under finite unions and complements. $\mathcal{E}$ is $\sigma$-algebra if it is closed under countable unions and complements. In math:$\quad 1.\ A \in \mathcal{E} \Rightarrow E \setminus A \in \mathcal{E}$$\quad 2.\ A_1, A_2, \dots \in \mathcal{E} \Rightarrow \bigcup_{n \ge 1} A_n \in \ma.. 2023. 9. 6. 연속확률변수의 기댓값, Expectation of Continuous Case (Uniform, Exponential, Gamma, Normal) 연속확률변수의 기댓값도 이산확률변수와 거의 같다.Expected value, 기댓값연속확률변수 $X$에 대히여 pdf가 $f_X$일 때, $X$의 기댓값은 다음과 같다,\[ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x) dx \](1) 균등분포의 기댓값$X \sim U[a, b]$의 pdf는 $\frac{1}{b-a}$이므로 기댓값은\[ E(X) = \int_a^b \cfrac{x}{b-a} dx = \cfrac{a+b}{2} \] (2) 지수분포의 기댓값$X \sim Exp(\lambda)$의 pdf는 $\lambda e^{-\lambda x}$이므로 기댓값은 (부분적분을 이용하여)\[ E(X) = \int_0^{\infty}x \lambda e^{-\lambda x} = \lef.. 2023. 3. 30. 이산확률변수의 기댓값, Expectation of Discrete Case (Bernoulli, Binomial, Geometric, Poisson) 앞서 Ch2에서 확률변수와 확률분포를 배웠다. 이제 유의미한 통계량인 기댓값에 대하여 Ch3를 할애했다.그리고 기댓값을 시작으로 분산, 공분산, 상관계수를 학습하고 적률생성함수(moment generating function, mgf)로 $k$차 적률($E(X^k)$)까지 유도해본다. Expected value, 기댓값이산확률변수 $X$에 대하여, 기댓값을 $E(X)$ 또는 $\mu_X$로 표기한다. \[ E(X) = \sum_{x \in \mathbb{R}}xP(X=x) = \sum_{x \in \mathbb{R}}xp_X(x) \]$p_i = P(X=x_i)$로 표기하면 다음과 같이 정의할 수 있다.\[ E(X) = \sum_{i}x_i p_i \]Note: 기댓값은 음수가 될 수 있다. Degene.. 2023. 3. 29. 이전 1 다음 728x90 반응형
