연속확률변수의 기댓값, Expectation of Continuous Case (Uniform, Exponential, Gamma, Normal)

 

연속확률변수의 기댓값도 이산확률변수와 거의 같다.

Expected value, 기댓값

연속확률변수 $X$에 대히여 pdf가 $f_X$일 때, $X$의 기댓값은 다음과 같다,
$$E(X)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x{f}_X(x)dx$$

(1) 균등분포의 기댓값

$X\sim U[a,b]$의 pdf는 $\frac{1}{b-a}$이므로 기댓값은

$$E(X)={\int }_a^b\frac{x}{b-a}dx=\frac{a+b}{2}$$

 

(2) 지수분포의 기댓값

$X\sim Exp(\lambda )$의 pdf는 $\lambda e^{-\lambda x}$이므로 기댓값은 (부분적분을 이용하여)

$$E(X)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\lambda e^{-\lambda x}={[-x{e}^{-\lambda x}]}_{x=0}^{x=\mathrm{\infty }}+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\lambda x}dx={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda }$$

 

(3) 감마분포의 기댓값

$X\sim Gamma(\alpha ,\lambda )$의 pdf는 $\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x}$이므로

$$E(X)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^{\alpha +1}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}{x}^{\alpha +1-1}{e}^{-\lambda x}dx\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}{\lambda \mathrm{\Gamma }(\alpha )}=\frac{\alpha }{\lambda }$$

Note: 지수분포는 감마분포의 $\alpha =1$인 경우이므로 (2)를 유도할 수 있다.

 

Properties of Expectation

연속확률변수의 기댓값 역시 이산확률변수의 기댓값과 동일한 기본 성질을 갖는다.

(1) $X$가 연속확률변수이고, $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$로 대응하는 함수 $g(X)$에 대하여 기댓값은
$$E(g(X))={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(x)f_X(x)$$

(2) $X,Y$가 연속확률변수이고, ${\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$로 대응하는 함수 $h(X,Y)$에 대하여 기댓값은
$$E(h(X,Y))={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h(x,y)f_{X,Y}(x,y)dxdy$$

(3) Linearity of expected values
연속확률변수 $X,Y$에 대하여 $Z=aX+bY$라 하자. ($a,b$는 실수).이 때 $Z$의 기댓값은
$$E(Z)=aE(X)+bE(Y)$$

(4) 연속확률변수 $X,Y$가 서로 독립이면
$$E(XY)=E(X)E(Y)$$

(5) Monotonicity
두 연속확률변수 $X,Y$가 $X\le Y$일 때 ($X(s)\le Y(s),\mathrm{\forall }s\in S$) $E(X)\le E(Y)$이다.

(4) 정규분포의 기댓값

표준정규분포($Z\sim N(0,1)$)의 기댓값($E(Z)$)을 구하고, 선형성을 이용하여 정규분포($X=\sigma Z+\mu$)의 기댓값($E(X)$)을 구하자.

$\varphi (z)$는 $y$축 대칭이고, $z\varphi (z)$는 원점대칭이므로

$$E(Z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}z\varphi (z)dz=0$$

따라서

$$E(X)=0+\mu =\mu$$