Applications of Inequalities (여러가지 부등식과 몇 가지 활용)

 

Inequality in mathematical application: Triangle, Cauchy-Schwartz, Young's, Höolder's, Jensen's

$1+x\le e^x\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ 

$f(x)=e^2-x-1$이라 하고 모든 실수에서 $f(x)\ge 0$임을 보인다. 

$f^{\prime }(x)=e^x-1$이고 $f^{″}(x)=e^x$이므로 convex이므로 $x=0$에서 최솟값을 갖는다.

$f(x)$의 최솟값이 $f(0)=0$이므로 $f(x)\ge f(0)=0$이다.

$(1-x{)}^n\ge 1-nx\text{for}0\le x\le 1$

$f(x)=(1-x{)}^n-(1-nx)$이라 하고 $[0,1]$에서 $f(x)\ge 0$임을 보인다.

$f^{\prime }(x)=-n(1-nx{)}^{n-1}+n=n\{1-(1-x{)}^{n-1}\}$이고 이는 $[0,1]$에서 $0$이상이다.

최솟값은 $f(0)=0$이므로 구간 $[0,1]$에서 $f(x)\ge 0$이다.

$(x+y{)}^2\le 2x^2+2y^2$

등식 $(x+y{)}^2+(x-y{)}^2=2x^2+2y^2$에서 유도할 수 있다.

Triangle Inequality (삼각 부등식)

$\Vert \cdot \Vert$가 벡터의 norm이고 $\mathbf{x}\mathbf{,}\mathbf{y}$가 벡터라고 하면 다음 부등식이 성립한다.

$$\Vert \mathbf{x}\Vert \Vert \mathbf{y}\Vert \le \Vert \mathbf{x}\Vert +\Vert \mathbf{y}\Vert$$

 

law of cosine에 의하여

$$\begin{array}{rl}\Vert \mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{y}{\Vert }^2& =\Vert \mathbf{x}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{y}{\Vert }^2-2\Vert \mathbf{x}\Vert \Vert \mathbf{y}\Vert \cos (\theta )\\ & \le \Vert \mathbf{x}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{y}{\Vert }^2+2\Vert \mathbf{x}\Vert \Vert \mathbf{y}\Vert \\ & =(\Vert \mathbf{x}\Vert +\Vert \mathbf{y}\Vert {)}^2\end{array}$$

양변에 square root를 씌우면 삼각 부등식이 성립한다.

 

Stirling approximation (스털링 근사)

$$n!\approx {\left(\frac{n}{e}\right)}^2\sqrt{2\pi n}$$

$${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}\approx \frac{1}{\sqrt{\pi n}}{2}^{2n}$$

$${\left(\frac{n}{e}\right)}^n\sqrt{2\pi n}<n!<{\left(\frac{n}{e}\right)}^n\sqrt{2\pi n}(1+\frac{1}{12n-1})$$

 

proof 1: Stirling approximation

$\ln (n!)=\ln 1+\ln 2+\cdots +\ln n\approx {\int }_1^n\ln xdx$에서 시작한다.

그리고 $\ln x$는 두번 미분가능하고 위로 볼록(concave)하므로 아래 부등식을 이용할 수 있다. 

$$\frac{\ln x_0+\ln (x_0+1)}{2}\le {\int }_{x_0}^{x_0+1}\ln xdx,x\in [x_0,x_0+1]$$

그러므로 $\ln (n!)$을 더 근사하면

$$\begin{array}{rl}\ln (n!)& =\frac{\ln 1}{2}+\frac{\ln 1+\ln 2}{2}+\frac{\ln 2+\ln 3}{2}+\cdots \frac{\ln (n-1)+\ln n}{2}+\frac{\ln n}{2}\\ & \le {\int }_1^n\ln xdx+\frac{\ln n}{2}\\ & =[x\ln x-x{]}_1^n+\frac{\ln n}{2}\\ & =n\ln n-n+1+\frac{\ln n}{2}\end{array}$$

위 부등식에 양변에 $\exp (\cdot )$를 합성하면 다음의 stirling 근사를 얻는다.

$$n!\le n^n{e}^{-n}\sqrt{n}e$$

 

Cauchy-Schwartz Inequality (코시-슈바르츠 부등식)

$$\Vert \mathbf{x}\Vert \Vert \mathbf{y}\Vert \ge {\mathbf{x}}^{\mathrm{\top }}\mathbf{y}\text{(vector form)}$$

$$\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{y}_i^2\right)\ge {\left(\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i\right)}^2$$

 

횔더 부등식에서 $p=q=2$인 특수한 경우로 볼 수 있다.

Young's Inequality (영 부등식)

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$을 성립하는 양의 실수 $p,q$에 대하여 임의의 양의 실수 $x,y$에 대하여 다음이 성립한다.

$$\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}\ge xy$$

 

proof

$\ln x$가 concave하므로 Jensen's inequality의 반대로 적용하면

$$\begin{array}{rl}\ln (\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q})& \ge \frac{1}{p}\ln (x^p)+\frac{1}{q}\ln (y^q)\\ & =\ln (xy)\end{array}$$

Hölder's Inequality (횔더 부등식)

임의의 양의 실수 $p,q$가 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$일 때, 다음 부등식이 항상 성립한다.

$$\sum _{i=1}^n|x_i{y}_i|\le {\left(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p\right)}^{1/p}{\left(\sum _{i=1}^n|y_i{|}^q\right)}^{1/q}$$

 

proof

$x_i^{\prime }=\frac{x_i}{(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p{)}^{1/p}}$, $y_i^{\prime }=\frac{y_i}{(\sum _{i=1}^n|y_i{|}^q{)}^{1/q}}$이라 하자.

그리고 모든 $x_i,y_i$를 $x_i^{\prime },y_i^{\prime }$로 바꾼다.

이렇게 대체하여도 부등식의 방향은 바뀌지 않는다.

그러면 $\sum _{i=1}^n|x_i^{\prime }{|}^p=\sum _{i=1}^n|y_i^{\prime }{|}^q=1$이므로 $\sum _{i=1}^n|x_i^{\prime }{y}_i^{\prime }|\le 1$을 보인다.

Young's inequality에 의하여 $|x_i^{\prime }{y}_i^{\prime }|\le \frac{|x_i^{\prime }{|}^p}{p}+\frac{|y_i{|}^q}{q}$임을 도출한다.

마지막으로 양변에 $\sum _{i=1}^n$을 취하면 우변은 $\text{RHS}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$이므로 부등식을 증명했다.

 

실수 $a_1,a_2,\dots ,a_n$와 양의 정수 $k$에 대하여 다음이 성립한다.

$$(a_1+a_2+\cdots +a_n{)}^k\le n^{k-1}(|a_1|{)}^k+|a_2{|}^k+\cdots +|a_n{|}^k$$

$p=k$, $q=\frac{k}{k-1}$이라 하고 횔더 부등식을 이용하면 증명할 수 있다.

$$\begin{array}{rl}|a_1+\cdots +a_n|& \le |a_1\cdot 1|+\cdots |a_n\cdot 1|\\ & \le {\left(\sum _{i=1}^n|a_i{|}^k\right)}^{1/k}(1+\cdots +1{)}^{(k-1)/k}\end{array}$$

Jensen's Inequaltiy (젠센 부등식)

임의의 concave function $f$와 ${\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_n=1,({\alpha }_i\ge 0)$일때 다음이 항상 성립한다.

$$f\left(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{x}_i\right)\le \sum _{i=1}^n{\alpha }_{i}f(x_i)$$

Arithmetic-Geometric means (산술-기하 평균)

임의의 양수 $a_1,\dots ,a_n>0$에 대하여 다음이 항상 성립한다.

$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{a}_i\ge \sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}$$

 

Approximating sums by integrals (적분을 이용한 합의 근사)

Approximating sums by integrals

감소함수 $f$에 대하여 다음이 성립한다.

$${\int }_m^{n+1}f(x)dx\le \sum _{i=1}^{n}f(i)\le {\int }_{m-1}^{n}f(x)dx$$

그러므로 $\sum _{i=1}^n\frac{1}{i^2}$의 범위는 다음과 같다.

$$\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}\le \sum _{i=1}^n\frac{1}{i^2}\le 2-\frac{1}{n}$$